Multivariate Calculus（多元微积分）

多元微积分将 derivative 和积分推广到多变量函数，这是必不可少的，因为 ML 模型有数百万个参数。本节涵盖偏导数、gradient、Jacobian、Hessian 以及使反向传播成为可能的多元链式法则。

• 到目前为止，我们的函数接受单个输入 \(x\) 并产生单个输出 \(f(x)\)。但在 ML 中，我们几乎从不只处理一个变量。

• 考虑两个变量的函数，如 \(f(x, y) = x^2 + y^2\)。它在三维空间中定义了一个曲面——碗形。我们想知道：若在保持 \(y\) 固定的同时微调 \(x\)，\(f\) 如何变化？这就是偏导数。

• \(f\) 关于 \(x\) 的偏导数，写作 \(\frac{\partial f}{\partial x}\)，将其他所有变量视为常数，只对 \(x\) 正常求导。

• 对于 \(f(x, y) = x^2y + 3x - 2y\)：

\[\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3 \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 - 2\]

• 计算 \(\frac{\partial f}{\partial x}\) 时，把 \(y\) 当常数，所以 \(x^2y\) 求导得 \(2xy\)，\(3x\) 得 \(3\)，\(-2y\) 得 \(0\)。

• 计算 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 时，把 \(x\) 当常数，所以 \(x^2y\) 得 \(x^2\)，\(3x\) 得 \(0\)，\(-2y\) 得 \(-2\)。

• 从几何上看，对 \(x\) 求偏导就像用平行于 \(xz\) 平面的平面（在固定 \(y\) 值处）切开三维曲面，然后求所得曲线的斜率。

• Gradient 将所有偏导数收集到一个 vector 中：

\[\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)\]

• 对于 \(f(x, y) = x^2 + y^2\)：\(\nabla f(x, y) = (2x, 2y)\)。在点 \((1, 2)\) 处：\(\nabla f(1, 2) = (2, 4)\)。

• Gradient 有两个关键属性：

  • 方向：它指向最陡上升的方向。想象一个徒步旅行者站在山上，gradient 指向从其位置出发最陡的上坡路径。

  • Magnitude：\(\|\nabla f\|\) 给出该最陡方向上的增长率。Gradient 大意味着地形陡峭；Gradient 小意味着几乎平坦。

• 由于 gradient 指向上坡，沿相反方向移动（\(-\nabla f\)）就是下坡——趋向更低的值。这个简单的想法就是梯度下降（gradient descent）的基础，我们将在后续章节详细探讨。目前，关键点是：gradient 告诉你哪里是"上坡"以及坡有多陡。

• 方向导数（directional derivative）推广了偏导数。它不再问"\(f\) 沿 x 轴如何变化？"，而是问"\(f\) 沿任意方向 \(\mathbf{u}\) 如何变化？"它计算为 gradient 与单位 vector 的 dot product：

\[D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}\]

• 对于 \(f(x, y) = x^2 + y^2\) 在点 \((1, 2)\) 处，沿方向 \(\mathbf{v} = (3, 4)\)：先归一化得 \(\mathbf{u} = (3/5, 4/5)\)，则 \(D_{\mathbf{u}} f = (2, 4) \cdot (3/5, 4/5) = 6/5 + 16/5 = 22/5\)。

• 偏导数是方向导数的特例——方向就是坐标轴方向。若某方向上的方向导数为零，则函数在该点的那个方向上是平坦的。

• 等高线（或水平曲线）连接函数值相同的点。对于 \(f(x, y) = x^2 + y^2\)，等高线是以原点为圆心的圆：\(x^2 + y^2 = c\)（\(c\) 取不同值）。

• 等高线不会相互交叉（一个点不可能有两个不同的函数值）。

• Gradient 总是垂直于等高线，从低值指向高值。

• 等高线密集表示地形陡峭，等高线稀疏表示地形平缓。

• 到目前为止，我们的函数只产生单个输出。但许多函数会产生多个输出。一个函数 \(\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 接受 \(n\) 个输入并产生 \(m\) 个输出。Jacobian matrix 整理了这种向量值函数的所有偏导数：

\[ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \]

• Jacobian 的每一行是一个输出分量的 gradient。对于有 3 个输入和 2 个输出的函数，Jacobian 是一个 \(2 \times 3\) 的 matrix。

• Jacobian 将 derivative 推广到向量值函数。

• 正如标量函数的 derivative 告诉你输出变化量与输入变化量之比，Jacobian 告诉你每个输出如何随每个输入变化。

• Jacobian 的行列式衡量变换如何在局部拉伸或压缩空间。

• 若行列式为 2，则小区域面积加倍；若为 0，则变换将空间压缩到更低维度（回顾我们的 matrix 章节：行列式为零意味着奇异、不可逆的变换）。

• 当多个变换复合（一个的输出作为下一个的输入）时，整体映射的 Jacobian 是各个 Jacobian 的乘积。我们将在后续章节看到这一思想的核心作用。

• Gradient 捕捉一阶信息（斜率），而 Hessian matrix 捕捉二阶信息（曲率）。

• 对于标量函数 \(f(x_1, \ldots, x_n)\)，Hessian 是所有二阶偏导数构成的 \(n \times n\) matrix：

\[ H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \]

• 对于 \(f(x, y) = x^3 + 2xy^2 - y^3\)，gradient 为 \((3x^2 + 2y^2,\; 4xy - 3y^2)\)，Hessian 为：

\[ H = \begin{bmatrix} 6x & 4y \\ 4y & 4x - 6y \end{bmatrix} \]

• 对角元素（\(6x\) 和 \(4x - 6y\)）告诉你 x 方向的斜率如何随 x 变化，y 方向类似。

• 非对角元素（\(4y\)）告诉你一个方向的斜率如何随另一个方向的移动而变化。

• Clairaut 定理保证：对于具有连续二阶导数的函数，混合偏导数相等：\(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\)。

• 这意味着 Hessian 是对称的，正如我们在 matrix 章节看到的，这保证了实数 eigenvalue 和正交 eigenvector。

• Hessian 告诉我们函数在临界点（gradient 为零的点）附近的形状：

  • 若 \(H\) 是正定的（所有 eigenvalue 为正），该点是局部最小值——曲面在每个方向上都向上弯曲，像一个碗。
  • 若 \(H\) 是负定的（所有 eigenvalue 为负），该点是局部最大值——曲面向下弯曲，像倒扣的碗。
  • 若 \(H\) 的 eigenvalue 有正有负，该点是鞍点——曲面在某些方向向上弯曲，在另一些方向向下弯曲，像山路的垭口。

• 多元链式法则将链式法则推广到多变量函数。若 \(z = f(x, y)\)，其中 \(x = g(t)\)，\(y = h(t)\)，则：

\[\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\]

• 从 \(t\) 到 \(z\) 的每条路径都贡献一项：沿该路径的偏导数乘以中间变量关于 \(t\) 的导数。

• 例如，若 \(z = x^2 y + 3x - y^2\)，\(x = \cos(t)\)，\(y = \sin(t)\)：

\[\frac{dz}{dt} = (2xy + 3)(-\sin t) + (x^2 - 2y)(\cos t)\]

• 除手动计算 derivative 外，还有三种方法：

  • 数值微分：用 \(f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}\) 近似（\(h\) 较小）。简单，但有噪声且不精确。
  • 符号微分：代数地应用微分规则，产生精确公式。但可能产生指数级增大的表达式。
  • 自动微分（autodiff）：追踪运算链并高效计算精确 derivative。这是 JAX、PyTorch 和 TensorFlow 使用的方法。它给出精确数值（而非近似值），且不产生臃肿的符号表达式。

编程练习（使用 CoLab 或 notebook）

1. 使用 jax.grad 计算 \(f(x, y) = x^2 y + 3x - 2y\) 在点 \((1, 2)\) 处的 gradient。由于 \(f\) 接受 vector 输入，使用带 argnums 的 jax.grad。

   import jax
   import jax.numpy as jnp
   
   def f(x, y):
       return x**2 * y + 3*x - 2*y
   
   df_dx = jax.grad(f, argnums=0)
   df_dy = jax.grad(f, argnums=1)
   
   x, y = 1.0, 2.0
   print(f"∂f/∂x = {df_dx(x, y):.4f}（期望值: {2*x*y + 3:.4f}）")
   print(f"∂f/∂y = {df_dy(x, y):.4f}（期望值: {x**2 - 2:.4f}）")
   

2. 使用 jax.jacobian 计算向量值函数的 Jacobian。与手动计算结果对比。

   import jax
   import jax.numpy as jnp
   
   def F(x):
       return jnp.array([x[0]**2 + x[1], x[0] * x[1]**2])
   
   J = jax.jacobian(F)
   x = jnp.array([1.0, 2.0])
   print(f"(1,2) 处的 Jacobian:\n{J(x)}")
   # 期望值: [[2*x[0], 1], [x[1]**2, 2*x[0]*x[1]]] = [[2, 1], [4, 4]]
   

3. 使用 jax.hessian 计算 \(f(x, y) = x^3 + 2xy^2 - y^3\) 的 Hessian，并验证其对称性。

   import jax
   import jax.numpy as jnp
   
   def f(xy):
       x, y = xy[0], xy[1]
       return x**3 + 2*x*y**2 - y**3
   
   H = jax.hessian(f)
   point = jnp.array([1.0, 2.0])
   hess = H(point)
   print(f"Hessian:\n{hess}")
   print(f"对称: {jnp.allclose(hess, hess.T)}")
   # 期望值: [[6x, 4y], [4y, 4x-6y]] = [[6, 8], [8, -8]]
   

4. 从零开始构建一个简单的 autodiff 引擎。

   • 每个 Var 追踪其值以及如何通过链式法则反向传播 gradient。
   • 尝试添加更多运算（除法、幂次等）来扩展它。
   • 这是 JAX、PyTorch 和 Numpy 设计的基础。

     class Var:
         def __init__(self, val, children=(), backward_fn=None):
             self.val = val
             self.grad = 0.0
             self.children = children
             self.backward_fn = backward_fn
     
         def __add__(self, other):
             out = Var(self.val + other.val, children=(self, other))
             def _backward():
                 self.grad += out.grad    # d(a+b)/da = 1
                 other.grad += out.grad   # d(a+b)/db = 1
             out.backward_fn = _backward
             return out
     
         def __mul__(self, other):
             out = Var(self.val * other.val, children=(self, other))
             def _backward():
                 self.grad += other.val * out.grad  # d(a*b)/da = b
                 other.grad += self.val * out.grad  # d(a*b)/db = a
             out.backward_fn = _backward
             return out
     
         def backward(self):
             # 拓扑排序后反向传播 gradient
             # 我们会在数据结构与算法章节详细介绍这部分内容
             order, visited = [], set()
             def topo(v):
                 if v not in visited:
                     visited.add(v)
                     for c in v.children:
                         topo(c)
                     order.append(v)
             topo(self)
             self.grad = 1.0
             for v in reversed(order):
                 if v.backward_fn:
                     v.backward_fn()
     
     # f(x, y) = x*x*y + x  在 (3, 2) 处
     x = Var(3.0)
     y = Var(2.0)
     f = x * x * y + x       # = 3*3*2 + 3 = 21
     
     f.backward()
     print(f"f = {f.val}")           # 21.0
     print(f"df/dx = {x.grad}")     # 2*x*y + 1 = 13.0
     print(f"df/dy = {y.grad}")     # x*x = 9.0